內(nèi)蒙古工業(yè)大學601數(shù)學分析2023研究生考試大綱

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科目名稱：數(shù)學分析

科目代碼：601

一、考試范圍及要點

1、變量，函數(shù)，極限，連續(xù)

理解函數(shù)的概念，掌握函數(shù)的幾何特性，理解復合函數(shù)，反函數(shù)，掌握基本初等函數(shù)的性質(zhì)及圖形。理解數(shù)列極限的定義，會利用定義來證明數(shù)列的極限。掌握數(shù)列極限的性質(zhì)，了解有界數(shù)列的定義，掌握數(shù)列極限的運算，掌握單調(diào)有界數(shù)列的定義，了解極限存在的判別法(單調(diào)有界數(shù)列比有極限)。了解無窮大量和無窮小量無窮小量的階的定義，了解無窮大量和無窮小量的幾何意義。掌握無窮大量和無窮小量的關(guān)系和一些運算法則。理解函數(shù)在一點的極限的定義及其幾何意義，掌握函數(shù)極限的性質(zhì)和運算法則。掌握函數(shù)極限和數(shù)列極限之間的關(guān)系。理解單側(cè)極限的定義(左極限、右極限)，掌握函數(shù)在無窮遠處極限和函數(shù)值趨于無窮大時極限的定義(正無限遠和負無限遠)，掌握兩個常用的不等式和兩個重要的極限(夾逼準則和單調(diào)有界準則)，會用兩個極限求極限。掌握函數(shù)在一點連續(xù)的定義(連續(xù)、左連續(xù)、右連續(xù))，理解連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)和運算，了解初等函數(shù)的連續(xù)性，了解不連續(xù)點的定義，會判斷函數(shù)的間斷點及其類型(第一類、第二類和可移)，了解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)(有界性、具有最大最小值、零點存在定理)，掌握函數(shù)一致連續(xù)的定義及其幾何意義，會利用定義證明函數(shù)的一致連續(xù)性。理解子列、上確界和下確界的定義，并會求數(shù)列的上下確界。掌握實數(shù)的基本定理(區(qū)間套定理，致密性定理，柯西收斂原理，有限覆蓋定理)，了解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)的證明。

2、單變量微分學

理解導數(shù)和微分的定義及幾何意義，了解函數(shù)的可導性與連續(xù)性之間的關(guān)系。會利用定義求簡單函數(shù)的導數(shù)，掌握簡單函數(shù)的導數(shù)公式和求導法則(和差運算、數(shù)乘運算、乘積運算、相除運算)，掌握反函數(shù)和復合函數(shù)的求導法，了解對數(shù)函數(shù)求導法。了解微分的運算法則和一階形式不變性，理解高階導數(shù)與高階微分的定義，會求隱函數(shù)及參數(shù)方程所表示的函數(shù)的一階和高階導數(shù)，了解不可導函數(shù)的形式，掌握高階導數(shù)的運算法則。理解并會運用微分學的基本定理(費爾馬定理，拉格朗日定理，柯希定理)，會利用導數(shù)作近似計算，掌握泰勒公式，會求函數(shù)在給定點的泰勒展開式。掌握函數(shù)的極大值與極小值，最大值和最小值，凸性和函數(shù)的升降，掌握用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性和求極值的方法。掌握漸近線的求法(水平、垂直和斜漸近線)。根據(jù)導數(shù)判斷所給函數(shù)的上升與下降，凸性和極值，并出函數(shù)的圖形。知道什么是曲線的曲率，弧長的微分，掌握曲率的計算，了解...掌握求待定型的方法(洛必達法則)，會求方程的近似解。

3、單變量積分學

理解不定積分和定積分的定義及性質(zhì)，掌握不定積分的基本公式與運算法則，會計算不定積分(“湊”微分法、換元積分法、分部積分法、有理函數(shù)積分法)，會求簡單的有理函數(shù)的積分，掌握其他類型的積分法。掌握定積分存在的充分必要條件(第一充要條件、第二充要條件)，了解可積函數(shù)類，掌握定積分的計算――基本公式(牛頓-萊布尼茲公式)、換元公式、分部積分公式，會利用定積分來求和式的極限。了解橢圓積分(第一類、第二類、第三類)。掌握定積分的應用和近似計算，會計算平面圖形的面積，曲線的弧長，體積，旋轉(zhuǎn)曲面的面積，質(zhì)心，平均值，功。知道廣義積分分為無限區(qū)間上的廣義積分和無界函數(shù)的積分兩種，了解無窮限廣義積分和無界函數(shù)廣義積分的概念，會利用定義來求這兩類廣義積分。了解無窮限廣義積分和級數(shù)之間的關(guān)系，掌握這兩類積分收斂的判別法(比較判別發(fā)、柯希判別法及其極限形式)，會證明廣義積分的斂散性，了解什么是柯西主值，會求廣義積分的柯西主值。

4、數(shù)項級數(shù)，函數(shù)項級數(shù)，冪級數(shù)

理解上極限和下極限的概念以及上下極限和極限的關(guān)系。理解無窮級數(shù)和級數(shù)...收斂的定義，了解收斂級數(shù)的一些基本性質(zhì)，掌握柯西收斂原理，會利用柯西收斂原理判別級數(shù)的收斂性。理解正項級數(shù)的定義，掌握正相級數(shù)收斂的基本定理和判別法(比較判別發(fā)、柯西判別法、達朗貝爾判別法及其極限形式)，了解柯西積分判別法，并會利用這些判別法來證明正項級數(shù)的斂散性。理解絕對收斂和條件收斂的定義及其之間的關(guān)系。掌握交錯級數(shù)的萊布尼茲定理，掌握阿貝爾判別法和狄立克萊判別法，并會利用他們來判斷任意項級數(shù)的斂散性。了解絕對收斂級數(shù)和條件收斂級數(shù)的性質(zhì)。理解函數(shù)項級數(shù)的概念，掌握一致收斂的定義及一致收斂級數(shù)的幾何意義，會判斷函數(shù)列的一致收斂性，理解一致收斂級數(shù)的性質(zhì)(和的連續(xù)性、逐項求導、逐項求積)，掌握一致收斂級數(shù)的判別法(魏爾斯特拉斯判別法、狄尼定理、狄立克萊判別法、阿貝爾判別法)，會討論函數(shù)項級數(shù)的斂散性。理解冪級數(shù)的定義及性質(zhì)，會求冪級數(shù)的收斂半徑，了解函數(shù)的冪級數(shù)展開，并會對簡單的函數(shù)進行冪級數(shù)展開，了解魏爾斯特拉斯逼近定理。理解富里埃級數(shù)的定義和形式，掌握黎曼引理，了解富里埃級數(shù)的一些性質(zhì)，理解狄尼定理及其推論，掌握lipschitz判別法，掌握函數(shù)的富里埃級數(shù)展開，會將簡單函數(shù)展開為富里埃級數(shù)(正弦級數(shù)和余弦級數(shù))。了解周期為T的函數(shù)的富里埃級數(shù)展開，知道富里埃級數(shù)的復數(shù)形式，了解富里埃變換和富里埃逆變換的概念，掌握富里埃變換的一些性質(zhì)(線性、平移、導數(shù)、復數(shù))，會求函數(shù)的富里埃變換。

5、多元函數(shù)的極限論

掌握平面點集上的有關(guān)定義(鄰域，點列的極限，開集，閉集，區(qū)域，內(nèi)點，外點、聚點)，了解平面點集的幾個基本定理(矩形套定理、致密性定理、有限覆蓋定理、收斂原理)，理解多元函數(shù)的概念(二元函數(shù))，理解二元函數(shù)極限和連續(xù)性的定義，了解有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)(有界性定理、一致連續(xù)性定理、最大值最小值定理、零點存在定理)，掌握二重極限和二次極限的定義，并會求二元函數(shù)的二重極限和二次極限，了解二重極限和二次極限之間的關(guān)系。

6、多變量微分學

理解偏導數(shù)和全微分的定義，了解全微分存在的必要條件和充分條件，會求多元函數(shù)的偏導數(shù)和全微分。理解高階偏導數(shù)和高階全微分的概念，掌握復合函數(shù)求偏導的鏈式法則，會求復合函數(shù)的二階偏導數(shù)，會求隱函數(shù)(包括由方程(組)所確定的隱函數(shù))的偏導數(shù)。了解空間曲線的切線與法平面的求法，曲面的切平面與法線的求法，理解方向?qū)?shù)與梯度的概念及其計算方法。知道多元函數(shù)的泰勒公式。了解極值，極值點和條件極值的概念，會求函數(shù)的極值，了解最最小二乘法，理解方程或方程組的隱函數(shù)存在定理，理解函數(shù)行列式的性質(zhì)。

7、含參變量的積分和廣義積分

理解含參變量的積分及由含參變量積分所確定的函數(shù)的性質(zhì)(連續(xù)性，可微性，可積性)，了解含參變量廣義積分的定義，掌握一致收斂的定義，一致收斂積分的判別法(魏爾斯特拉斯判別法)，及一致收斂積分的性質(zhì)(連續(xù)性定理，積分順序交換定理，積分號下求導定理)，了解歐拉積分。

8、多變量積分學

掌握二重積分、三重積分、第一類曲線積分、第一類曲面積分、第二類曲線積分、第二類曲面積分的概念及其積分的性質(zhì)。掌握二重積分與三重積分的計算及應用(化二重積分為二次積分，用極坐標計算二重積分，二重積分的一般變量替換，化三重積分為三次積分，三重積分的變量替換)。了解積分在物理上的應用(質(zhì)心，矩，引力)。了解廣義重積分的定義。掌握第一、二類曲線積分和第一、二類曲面積分的計算，會計算曲面的面積，會化第一類曲面積分為二重積分。了解兩類曲線積分之間和兩類曲面積分之間的聯(lián)系，掌握各種積分間的聯(lián)系(格林公式、高斯公式、斯托克司公式)，會利用這些公式計算曲線的積分。會使用平面曲線積分與路徑無關(guān)的條件，了解場及向量場的散度與旋度的概念。會用重積分、曲線積分及曲面積分求一些幾何量與物理量(如體積、曲面面積、弧長、質(zhì)量、重心、轉(zhuǎn)動慣量、引力、功等)。

參考書目：

《數(shù)學分析》(上、下)，華東師范大學數(shù)學系編著，高等教育出版社出版，2010年第四版

文章來源：內(nèi)蒙古工業(yè)大學研究生官網(wǎng)