考研真題中l(wèi)n（1+x）是怎么來的？

其他回答

• 王同學(xué)
  計(jì)算定積分∫(1~-0)ln(1+x)/(2-x)^2.dx
  • S老師
    上下限看不清楚，先做不定積分吧
    ∫ ln(1 + x)/(2 - x)² dx
    = - ∫ ln(1 + x)/(2 - x)² d(2 - x)
    = ∫ ln(1 + x) d[1/(2 - x)]
    = [ln(1 + x)]/(2 - x) - ∫ 1/(2 - x) · d[ln(1 + x)]，分部積分法
    = [ln(1 + x)]/(2 - x) - ∫ 1/[(2 - x)(1 + x)] dx
    = [ln(1 + x)]/(2 - x) - (1/3)∫ [(2 - x) + (1 + x)]/[(2 - x)(1 + x)] dx
    = [ln(1 + x)]/(2 - x) - (1/3)∫ [1/(1 + x) + 1/(2 - x)] dx
    = [ln(1 + x)]/(2 - x) - (1/3)[ln|1 + x| - ln|2 - x|] + c
    = [ln(1 + x)]/(2 - x) - (1/3)ln| (1 + x)/(2 - x) | + c
    
    若上限是1，下限是0，則定積分
    ∫(0→1) ln(1 + x)/(2 - x)² dx
    = [ln(1 + 1)]/(2 - 1) - (1/3)ln[ (1 + 1)/(2 - 1) ] - { [ln(1 + 0)]/(2 - 0) - (1/3)ln[ (1 + 0)/(2 - 0) ] }
    = (1/3)ln(2)
• 顏同學(xué)
  cosx~1-x的平方/2+x的四次方/4+(x的四次方)的高階無窮小 這個(gè)是怎么來的 還有l(wèi)n（1+x） 還有e的x次方
  • C老師
    這幾個(gè)式子都是用麥克勞林公式推導(dǎo)出來的
    
    麥克勞林公式 是泰勒公式（在x0=0下）的一種特殊形式。
    　　若函數(shù)f(x)在開區(qū)間（a，b）有直到n+1階的導(dǎo)數(shù)，則當(dāng)函數(shù)在此區(qū)間內(nèi)時(shí)，可以展開為一個(gè)關(guān)于x多項(xiàng)式和一個(gè)余項(xiàng)的和：
    　　f(x)=f(0)+f(0)x+x^2 f(0)/2 +x^3 f(0)/3+……+x^n f(n)(0)/n+rn
    其中rn是公式的余項(xiàng)，即高階無窮小，如佩亞諾(peano)余項(xiàng)rn(x) = o(x^n)等表示方法，
    而f(n)(0)則表示f(x)的n階導(dǎo)數(shù)在x=0時(shí)的取值，
    
    通過這個(gè)式子很容易得到
    當(dāng)f(x)=cosx時(shí)，其n階導(dǎo)數(shù)為cos(x+πn/2)
    如題當(dāng)n取到4次時(shí)，
    f(x)=cos0 + cos(π/2) x + cos(π) x^2 /2+cos(3π/2) x^3 /3+cos(2π) x^4 /4+rn
    顯然cos(π/2)=cos(3π/2)=0，而cos0=cos(2π)=1，cos(π)= -1，
    代入即可以得到f(x)=1- x^2 /2 + x^4 /4+rn，
    于是得到了證明。
    
    同理可以用這種方法得到
    ln（1+x）~x - x^2/2 +x^3/3 -x^4/4+……+(-1)^n x^n /n +rn
    e^x~1+ x +x^2/2+……x^n/n +rn
• M同學(xué)
  計(jì)算二重積分∫∫ln(x^2+y^2)dxdy其中積分區(qū)域d={(xy)/1<=x^2+y^2<=4}
  • 錢老師
    這是二重積分，要確定積分上下限。
    積分區(qū)域的圖形知道吧？是閉環(huán)域。
    換成極坐標(biāo)后，角度θ從0積到2∏，r從1積到2。
    表達(dá)式為∫dθ∫lnr^2 rdr，注意要寫積分上下限。
    然后算2個(gè)定積分就行了。