考研數(shù)學(xué)這一題中，如何證明這個(gè)廣義積分的斂散性？

其他回答

• 『同學(xué)
  反常積分的斂散性
  • 吳老師
    1、定義法求積分值與判定積分的斂散性
    定義法計(jì)算反常積分及判定反常積分的收斂性的依據(jù)：定積分的計(jì)算與積分結(jié)果求極限
    即首先通過(guò)將無(wú)窮限的反常積分轉(zhuǎn)換為有限區(qū)間上的定積分和將無(wú)界函數(shù)的反常積分轉(zhuǎn)換為有界函數(shù)的定積分計(jì)算；然后對(duì)積分結(jié)果求極限；最后根據(jù)極限的存在性和極限值計(jì)算得到反常積分的值或者判定反常積分的斂散性。
    2、反常積分收斂性的判定方法
    判定方法對(duì)照正項(xiàng)常值級(jí)數(shù)收斂性判定的比較審斂法與相類(lèi)似的結(jié)論：p-積分與q-積分
    (1)無(wú)窮區(qū)間上的反常積分收斂性判定方法的比較審斂法，基于p-積分的結(jié)論
    (2)無(wú)界函數(shù)的反常積分收斂性判定方法的比較審斂法，基于q-積分的結(jié)論
    【注1】對(duì)于同時(shí)包含兩類(lèi)反常積分的積分，借助積分對(duì)積分區(qū)間的可加性，分別轉(zhuǎn)換為兩類(lèi)反常積分計(jì)算積分值或判定積分的收斂性。
    【注2】對(duì)于一個(gè)反常積分轉(zhuǎn)換為幾個(gè)基本的反常積分進(jìn)行收斂性的判定時(shí)，值得注意的是，只要一項(xiàng)積分發(fā)散，則整個(gè)積分發(fā)散。
    【注3】反常積分同樣可以使用“偶倍奇零”化簡(jiǎn)積分計(jì)算，注意能夠使用的前提是反常積分收斂。
• 姝同學(xué)
  判斷下列反常積分的收斂性，如果收斂，計(jì)算反常積分的值
  • 師老師
    (1)小題。原式=-∫(01)d[√(1-x²)]=-√(1-x²)丨(x=01)=1。收斂。
    (2)小題。原式=∫(1e)d(lnx)/√(1-ln²x)]=arcsin(lnx)丨(x=1e)=πǘ。收斂。
    (3)小題。原式=∫(-∞0)(丨x丨+x)e^(-丨x丨)]dx+∫(0∞)(丨x丨+x)e^(-丨x丨)]dx。
    而，x∈(-∞0)時(shí)，丨x丨=-x、x∈(0∞)時(shí)，丨x丨=x，∴原式=2∫(0∞)xe^(-x)dx=2。收斂。
    供參考。
• s同學(xué)
  求級(jí)數(shù)sinn/n和cosn/n的斂散性，簡(jiǎn)要說(shuō)下步驟。謝謝
  • 周老師
    用積化和差公式，|2sin1/2(sin1+sin2+...+sinn)|=|cos1/2-cos(2n+1)/2|，因此|sin1+...+sinn|<=1/sin1/2，部分和有界，1/n單調(diào)遞減趨于0，dirichlet判別法收斂。|2sin1/2(cos1+cos2+...+cosn)|=|sin1/2-sin(2n+1)/2|。類(lèi)似可得收斂。