學習過線性代數(shù)的同學，在學習到矩陣運算這一節(jié)的時候，一定看到過這個矩陣乘法的運算規(guī)則：
1、如何解線性方程組
解線性方程組，是我們從初中就學過的知識：
【例】：解三元一次方程組

2、如何用矩陣初等行變換的方法解線性方程組
在計算中，我們發(fā)現(xiàn)：這樣的符號，在計算中完全可以省略，只要計算的時候，把每個未知數(shù)的系數(shù)位置明確即可。所以，以后這樣的方程組之間的運算，就用矩陣的初等行變換來代替了：
矩陣第一行4個元素，從左到右依次表示第一個方程3個未知數(shù)的系數(shù)和等號右邊的2。其他行也同理。（虛線只是方便區(qū)分系數(shù)和等號右邊的數(shù)字，沒有實際意義）
而我們前面解方程的過程，也簡化為了對矩陣做初等行變換的過程：
經(jīng)過一系列的初等行變換之后，矩陣變成了這樣：
方程組自然就解出來了。
到這一步，你可能覺得已經(jīng)很完美了，但是數(shù)學家覺得，這種方法還是不夠簡潔。
3、用矩陣記錄初等行變換的過程
仔細觀察矩陣初等行變換的過程：我們發(fā)現(xiàn)，把某行加到某行，把某行乘某個數(shù)，這些帶有規(guī)則數(shù)字的內(nèi)容，其實也可以表示為一個矩陣！
比如：
我們把這三串數(shù)字，按照順序：對第1行的變換過程記錄，就寫在第1行，第2行的變換過程記錄，就寫在第2行：
這個拼出來的矩陣，里面記錄了上一次初等行變換的信息。
現(xiàn)在我們開始定義矩陣的乘法了：
這個過程，現(xiàn)在就寫成了（剛才那個記錄變換過程的矩陣被放在了原矩陣的左邊）：
這樣矩陣乘法的計算規(guī)則就很自然的被定義出來了。
為了表述方便，我們把這個乘法簡記為：
4、解方程組，需要若干次初等行變換
這樣一來，一個復雜的解方程組過程，用三個字母和一個等號簡潔的表示出來了。
感興趣的同學可以驗算一下：
因為這里面是很多個初等行變換乘在一起的運算了，這個運算就不初等了。我們就只管他叫行變換好了。
當然，線性代數(shù)這門學科發(fā)展到今天，矩陣乘法的意義已經(jīng)遠遠超出了解方程組這樣簡單的運用范疇了。如果單純的考慮這樣的矩陣乘法，我們發(fā)現(xiàn)，只要的列數(shù)和的行數(shù)相同，矩陣乘法就可以順利的進行下去。
5、重點：不可以隨意交換乘法的順序
總結(jié)
聰明的你已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了：我們文章開頭的那個看起來莫名其妙的求和項，只不過是把每一行的整體運算，拆解成了每個元素單獨的運算：