學(xué)習(xí)過(guò)線(xiàn)性代數(shù)的同學(xué)，在學(xué)習(xí)到矩陣運(yùn)算這一節(jié)的時(shí)候，一定看到過(guò)這個(gè)矩陣乘法的運(yùn)算規(guī)則：
1、如何解線(xiàn)性方程組
解線(xiàn)性方程組，是我們從初中就學(xué)過(guò)的知識(shí)：
【例】：解三元一次方程組

2、如何用矩陣初等行變換的方法解線(xiàn)性方程組
在計(jì)算中，我們發(fā)現(xiàn)：這樣的符號(hào)，在計(jì)算中完全可以省略，只要計(jì)算的時(shí)候，把每個(gè)未知數(shù)的系數(shù)位置明確即可。所以，以后這樣的方程組之間的運(yùn)算，就用矩陣的初等行變換來(lái)代替了：
矩陣第一行4個(gè)元素，從左到右依次表示第一個(gè)方程3個(gè)未知數(shù)的系數(shù)和等號(hào)右邊的2。其他行也同理。（虛線(xiàn)只是方便區(qū)分系數(shù)和等號(hào)右邊的數(shù)字，沒(méi)有實(shí)際意義）
而我們前面解方程的過(guò)程，也簡(jiǎn)化為了對(duì)矩陣做初等行變換的過(guò)程：
經(jīng)過(guò)一系列的初等行變換之后，矩陣變成了這樣：
方程組自然就解出來(lái)了。
到這一步，你可能覺(jué)得已經(jīng)很完美了，但是數(shù)學(xué)家覺(jué)得，這種方法還是不夠簡(jiǎn)潔。
3、用矩陣記錄初等行變換的過(guò)程
仔細(xì)觀察矩陣初等行變換的過(guò)程：我們發(fā)現(xiàn)，把某行加到某行，把某行乘某個(gè)數(shù)，這些帶有規(guī)則數(shù)字的內(nèi)容，其實(shí)也可以表示為一個(gè)矩陣！
比如：
我們把這三串?dāng)?shù)字，按照順序：對(duì)第1行的變換過(guò)程記錄，就寫(xiě)在第1行，第2行的變換過(guò)程記錄，就寫(xiě)在第2行：
這個(gè)拼出來(lái)的矩陣，里面記錄了上一次初等行變換的信息。
現(xiàn)在我們開(kāi)始定義矩陣的乘法了：
這個(gè)過(guò)程，現(xiàn)在就寫(xiě)成了（剛才那個(gè)記錄變換過(guò)程的矩陣被放在了原矩陣的左邊）：
這樣矩陣乘法的計(jì)算規(guī)則就很自然的被定義出來(lái)了。
為了表述方便，我們把這個(gè)乘法簡(jiǎn)記為：
4、解方程組，需要若干次初等行變換
這樣一來(lái)，一個(gè)復(fù)雜的解方程組過(guò)程，用三個(gè)字母和一個(gè)等號(hào)簡(jiǎn)潔的表示出來(lái)了。
感興趣的同學(xué)可以驗(yàn)算一下：
因?yàn)檫@里面是很多個(gè)初等行變換乘在一起的運(yùn)算了，這個(gè)運(yùn)算就不初等了。我們就只管他叫行變換好了。
當(dāng)然，線(xiàn)性代數(shù)這門(mén)學(xué)科發(fā)展到今天，矩陣乘法的意義已經(jīng)遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了解方程組這樣簡(jiǎn)單的運(yùn)用范疇了。如果單純的考慮這樣的矩陣乘法，我們發(fā)現(xiàn)，只要的列數(shù)和的行數(shù)相同，矩陣乘法就可以順利的進(jìn)行下去。
5、重點(diǎn)：不可以隨意交換乘法的順序
總結(jié)
聰明的你已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了：我們文章開(kāi)頭的那個(gè)看起來(lái)莫名其妙的求和項(xiàng)，只不過(guò)是把每一行的整體運(yùn)算，拆解成了每個(gè)元素單獨(dú)的運(yùn)算：


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